Hilber-Traum

[Orakel]

Hilbertraum

Ein Hilbertraum (auch Hilbert-Raum), benannt nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen, versehen mit einem Skalarprodukt – und damit Winkel- und Längenbegriffen –, der vollständig ist bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm (des Längenbegriffs). Ein Hilbertraum ist ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem Prähilbertraum.

Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine Hilbertraumdimension. Diese kann eine beliebige Kardinalzahl sein. Ist die Dimension endlich, so handelt es sich um einen euklidischen Raum. In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik, ist „der“ Hilbertraum mit abzählbarer Dimension, d. h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. Ein Element eines Hilbertraums kann als eine Familie einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen kartesische Koordinaten genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer Hamelbasis ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in abzählbar vielen Koordinaten einer Orthonormalbasis ungleich null und die Koordinatenfamilie ist quadratsummabel.

Hilberträume tragen durch ihr Skalarprodukt eine topologische Struktur, dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von Normen bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen.

[Thing]

Sehr interessant, auch wenn ich überhaupt nichts davon verstehe.
Die Zeichendarstellung ist auch verlockend:

Ein Hilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum H mit einem Skalarprodukt \langle\cdot,\cdot\rangle, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert. Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum.

Im Folgenden sei das Skalarprodukt linear im zweiten und semilinear im ersten Argument, d. h. ist H komplexer Vektorraum und sind u,v\in H Vektoren und \lambda eine komplexe Zahl, so ist

\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle und \langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle.

In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt.

Leider stellt es sich als Zitat nicht dar,
aber es läßt sich über Wikipedia sehr leicht finden.

[Orakel]

Wenn ich das mal verstanden habe
kommunieziehre?????ich
vielleicht

[Thing]

Soll es Dir besser gehen als mir?