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Alt 22.01.2018, 14:20   #1
männlich Schmuddelkind
 
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Standard Wie groß ist die Unendlichkeit?

Woche 1

Der alte Mann nickt verständnisvoll, als Béla resigniert zusammenfasst: "Mathe ist so schwer. Ich verstehe gar nichts davon, was mein Lehrer da immer erzählt. Ich sehe da immer nur irgendwelche komischen Zeichen und ich verstehe nicht, was das bedeuten soll - oder wofür es gut ist. Und wenn ich mal meinen Mut zusammennehme und den Lehrer danach frage, schlägt er nur die Hand auf die Stirn und sagt: "Das ist doch aus der 8. Klasse bekannt.""

Tiefe Falten legen sich um das Lächeln des Alten, das nach all den Jahren des Unterrichts noch immer die Zuversicht einer unbekümmerten Jugend birgt und für einen Moment scheint es fast, als wäre er jünger als sein Schüler. Dieses Lächeln begleitet nun auch seine Antwort: "Ich verstehe dich gut. Ich dachte als Schüler auch, Mathematik sei kompliziert, weil ich darin nur die Zeichen erkannt habe, die man sieht. Erst als ich mit der Zeit lernte, die richtigen Fragen zu stellen, erkannte ich die leicht verständliche Bedeutung und dieses wundervolle Gedankenuniversum hinter diesen Zeichen und mit einem Mal war Differentialrechnung einfacher als die Abseitsregel.

Mir ist egal, wie dein Schullehrer das sieht, aber in meinem Unterricht gibt es keine dummen Fragen. Falsche Fragen bringen keine zufriedenstellenden Antworten, aber deswegen sind sie noch lange nicht dumm. Denn daraus kann man lernen, weitere Fragen zu stellen. Und wenn man erst einmal die richtige Frage ausgesprochen hat, ist alles ganz klar und einfach - das gilt in der Mathematik wie im Leben generell. Ich werde dir oft Fragen stellen, die du nicht beantworten kannst. Das bedeutet nicht, dass ich eine Antwort erwarte. Ich erwarte nur einen Gedanken: einen Kommentar, eine Frage, ein Problem, eine Idee. Und scheue dich nicht, zu fragen! Fragen stellen bedeutet Mathematik betreiben und ich habe noch nie einen Schüler gegessen."

Béla entfährt ein Schmunzeln: "OK!" Er ist sich nicht ganz sicher, ob er genau verstanden hat, was sein Gegenüber ihm mitteilen wollte, aber er fühlt, dass ihm ein Großteil seiner Nervosität genommen wurde. Vielleicht liegt es am ruhigen, besonnenen Tonfall des Alten, vielleicht daran, dass alles, was dieser sagte ganz und gar anders war als das, was die Lehrer, die er bisher kannte so von sich gegeben hatten. Aber dieser Lehrer scheint tatsächlich auf seiner Seite zu sein.

"Gut", sprach der alte Mann, "lass uns mal sehen, wo wir anfangen wollen. Ihr solltet in der Schule gerade quadratische Gleichungen behandeln, nicht wahr?" "Ich bin mir nicht so sicher..." "Das sind die Gleichungen mit dem x² darin." "Oh ja, genau!", erinnert sich der Junge eilig nickend. Für wenige Sekunden schaut der Mann gedankenverloren an die Decke, um sich dann nach vorn zu beugen und die Gleichung 3x²-9x=0 auf seinem Zettel zu notieren. Er legt den Stift auf den Zettel wie eine unausgesprochene Einladung und fragt den Jungen: "Hast du eine Idee, wie man diese Gleichung lösen könnte?"

Béla kommt sofort in den Sinn, was er zunächst tun würde. Aber würde der alte Mann dasselbe tun? Oder würde er die Augen rollen? Er zögert, denn er hat Angst. Vermutlich würde er sich ohnehin blamieren und er wird noch nicht einmal verstehen, was genau so blamabel an seiner Antwort ist. So langsam muss er aber etwas sagen. Ach, was soll's: "Vielleicht können wir die 9x auf die andere Seite bringen?" "Das könnten wir sicherlich tun", entgegnet der alte Mann: "Die Frage ist nur, ob wir damit Erfolg haben können. Ich kann schon mal vorwegnehmen, dass wir damit nicht sehr weit kommen werden und ich werde dir gleich auch erklären, wieso." "Oh, dann tut es mir leid. Ich dachte mir schon, dass meine Idee schlecht war." "Nein, Ideen sind immer gut. Aber Ideen bringen auch Fehler mit sich. Lernen heißt aber, über Fehler nachzudenken - nicht sich dafür zu entschuldigen. Du bist ja hier, um Mathe zu lernen. Also bist du auch hier, um Fehler zu machen." "OK!"

"Um aus diesem Fehler zu lernen, sollten wir ihn also tatsächlich erst einmal begehen - also nicht nur im Kopf, sondern auf dem Papier. Deine Idee, die 9x auf die andere Seite zu bringen, kann ich nämlich gut nachvollziehen. So ähnlich haben wir ja bisher immer Gleichungen gelöst. Wie würdest du das also anstellen?" "Ähm, plus 9x rechnen." "Genau! Dann schreib mal bitte die nächste Zeile auf!" 3x²=9x folgert Béla reflexhaft. "Richtig. Und dann?" "Durch drei teilen." "Das ist naheliegend, nicht wahr? Dann mach mal ruhig! Dem Papier kann das ja nicht weh tun." - x²=3x - "So. Was würdest du als nächstes tun?" "Vielleicht die Wurzel ziehen?" "Klar, wir denken ja bisher immer in Gegenteilen. Und die Quadratwurzel ist ja das Gegenteil vom Quadrieren." Ohne Aufforderung schreibt Béla x=3x. Da spitzt der Alte den Mund: "Vorsicht! In einer Gleichung können wir ja - fast - alles rechnen, was wir wollen, solange wir es auf beiden Seiten machen." "Klar, richtig. Danke!" Sofort korrigiert Béla seinen Fehler: x=√(3x)

Da erkennt Béla mit einem Mal das Problem: "Oh! Jetzt habe ich ja das x in der Wurzel. Das ist auch blöd." "Absolut! Was müssten wir denn jetzt machen, um das x da zu befreien?" "Wieder quadrieren. Und dann sind wir wieder am Ausgangspunkt." "Richtig - und dann würden wir wieder die Wurzel ziehen und wieder quadrieren, Wurzel, Quadrat, Wurzel, Quadrat... bis uns schwindelig wird." Plötzlich äußert Béla eine Idee: "Und was ist, wenn wir stattdessen durch x teilen?" Nun fangen die Augen des alten Mannes an zu leuchten. Seine Freude über eine selbst formulierte Idee Bélas bereits in der ersten Stunde erfüllt den ganzen Raum und durchfährt augenblicklich Bélas Bewusstsein.

"Die Idee gefällt mir! Dann wäre ja links nur noch x, denn x²:x scheint ja einfach x zu sein. Und rechts hätten wir nur noch drei. Dann wäre die Gleichung ja schon gelöst. Leider, so gerne ich das jetzt machen würde - der Gleichung gefällt diese Idee nicht." "Nein?!" fragt Béla überrascht und hakt dann scherzhaft nach: "Sture Gleichung!", woraufhin der Lehrer ins Lachen gerät. Als er sich davon wieder erholt, erklärt er: "Das Problem ist: x könnte ja auch null sein. Und wenn wir durch x teilen, könnte das also auch bedeuten, dass wir durch null teilen und das dürfen wir ja nicht." "Ach ja, stimmt." "Das findet die Gleichung dann blöd, dass wir was Verbotenes machen und wird direkt zickig und verrät uns nicht mehr all ihre Geheimnisse. Falls x nämlich tatsächlich null sein sollte, verschweigt sie uns das. Weißt du auch, warum man nicht durch null teilen darf?" Kurz überlegt Béla noch und antwortet schließlich: "Also, ich weiß, dass man es nicht darf, aber mir war nie so wirklich klar, warum." In diesem Augenblick schaut der Alte auf die Uhr - für gewöhnlich sagt ihm eine innere Stimme, wann die 45 Minuten zu Ende sind, was er sich immer noch durch einen Blick auf die Uhr bestätigen lässt: "Mit dieser Frage werden wir uns dann nächste Woche beschäftigen."

Als die beiden sich verabschieden, merkt Béla, dass er sogar ein wenig traurig ist, dass der Unterricht schon vorbei ist. Er erkennt deutlich, warum sein Lösungsweg nachvollziehbar, aber falsch war und er ist darüber überraschenderweise dankbar. Aber nun, da er weiß, wie man eine solche quadratische Gleichung nicht löst, würde er zu gerne wissen, wie es stattdessen funktioniert. Was ihn aber noch mehr beschäftigt: Zum ersten Mal ist ein Lehrer tatsächlich an seinen Ideen interessiert, selbst dann, wenn sie falsch sind.
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Alt 22.01.2018, 14:24   #2
männlich Schmuddelkind
 
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Dies könnte der Anfang eines Romans sein, der zugleich aber auch ein Sachbuch über Mathematik darstellt und den Leser in der neunten Klasse abholt und in die faszinierende Welt entführen soll, die jenseits der Schulmathematik zu entdecken ist. Ich weiß noch nicht, wieviel Raum hier die Handlung einnehmen wird und wieviel Raum von der Mathematik beherrscht wird, aber es wird wohl eher etwas für ein spezielleres Publikum, aber vielleicht täusche ich mich ja...
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Alt 22.01.2018, 16:21   #3
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Bitttttttttttttte mehhhhhr!

Ausklammern!
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Alt 22.01.2018, 17:25   #4
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Pssst, nicht alles vorwegnehmen!

Freut mich, wenn es Leser gibt, die Gefallen an solchen Geschichten finden können.

LG
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Alt 23.01.2018, 13:31   #5
männlich Ex-JavaScript
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Bitte die Differentialgleichung erklären und wie wir mkt den doofen dx /dy bzw. den Ds umgehen sollen.
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Alt 23.01.2018, 13:59   #6
männlich Schmuddelkind
 
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Ich bin mir noch nicht sicher, ob Differentialgleichungen Thema werden, aber zumindest einfache Differentialrechnung, vielleicht auch Taylor-Reihen etc.. Es geht ja darum, einerseits Ausschnitte aus dem Schulstoff zu erklären, aber dann auch, in die Schönheit der Mathematik einzusteigen, die ich z.B. eher in der Mengenlehrer Cantors finden kann. Ich denke, solche einfachen, aber genialen Gedankengänge, die jeder Laie nachvollziehen kann, werden dieses Büchlein tragen.

Aber danke für die Anregung. Wenn du (oder sonst jemand) Themen gerne im Buch besprochen sehen möchtest, nur raus damit! Ich werde auf jeden Fall darüber nachdenken.
Schmuddelkind ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 23.01.2018, 14:22   #7
männlich Schmuddelkind
 
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Danke, Eisenvorhang!

Conway werde ich vermutlich auch erwähnen - surreelle Zahlen.
Deine Bach-Erwähnung finde ich auch interessant. Möglicherweise werde ich tatsächlich auch etwas Platz für Mathematik in der Musik lassen, aber da müsste ich mich erst noch richtig einlesen.

LG
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Alt 23.01.2018, 17:59   #8
animar
 
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Hallo Schmuddelkind,

ich muss gestehen, dass ich ein Fan von deinen Gedichten und Geschichten bin.
Schon seit Jahren lese ich immer wieder deine Gedichte und Geschichten, all die wunderschönen Worte, die Sprache, all die berühren mein Herz und die Seele.
Ich finde wirklich, du schreibst so schön.

Bitte weiter so.
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Alt 23.01.2018, 23:56   #9
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Danke animar.

Zitat:
Schon seit Jahren lese ich immer wieder deine Gedichte und Geschichten
Ach, du warst das.

Im Ernst, schön zu wissen, dass es da draußen noch mehr positiv Verrückte wie uns gibt. Wenn man in so einem Literatur-Forum schreibt, sieht man meist nur die Kommentatoren und neigt vielleicht dazu, die vielen stillen Leser, die ja deutlich in der Überzahl sind, zu übersehen. Aber wenn es diese nicht gäbe, würden wir ja nur für eine Handvoll Leute schreiben - wörtlich. Insofern freue ich mich, mal eine Stimme aus dem "unsichtbaren" Publikum zu hören.

Hast du vielleicht auch vor, selbst was zu schreiben/posten?
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Alt 25.01.2018, 18:25   #10
animar
 
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Zitat:
Zitat von Schmuddelkind Beitrag anzeigen
Hast du vielleicht auch vor, selbst was zu schreiben/posten?
Jein...eigentlich nicht wirklich, muss ich ehrlich gestehen.
Und das auch aus sehr guten Gründen.

Aufgrund meiner Behinderung (ich bin gehörlos) habe ich wie jeder Gehörlose auch Probleme mit Rechtschreibung und Grammatik. Ich habe die Erfahrung gemacht, dass dies nicht jeder Hörender nachvollziehen kann.
Wenn ich Gedichte hier posten würde, würde man mich bzw. meine Gedichte mit ziemlicher Sicherheit in der Luft zerfetzen. Deswegen lasse ich's lieber.
animar ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 25.01.2018, 19:18   #11
männlich Heinz
 
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Hallo animar,
für jedes Problem gibt es eine Lösung. Du begründest Dein Nichtschreiben sehr glaubhaft. Solltest Du mal ein bisschen Zeit haben, dann lies mal meine kleine Story "Der Himmel zwischen Schwein und Adler". Zumindest sollte aus der Geschichte hervor gehen, dass wir alle irgendwann und irgendwie von Gott geküsst sind - nur manche an der falschen Stelle.
Was hält Dich davon ab, eine Geschichte zu schreiben und die vor der Veröffentlichung per PN oder EMail z.B. mir zukommen zu lassen. Es gibt bestimmt auch noch andere, die Dein Geschriebenes Korrektur lesen.
Liebe Grüße,
Heinz.
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Alt 25.01.2018, 21:15   #12
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Zitat:
Zitat von animar Beitrag anzeigen
Jein...eigentlich nicht wirklich, muss ich ehrlich gestehen.
Und das auch aus sehr guten Gründen.

Aufgrund meiner Behinderung (ich bin gehörlos) habe ich wie jeder Gehörlose auch Probleme mit Rechtschreibung und Grammatik. Ich habe die Erfahrung gemacht, dass dies nicht jeder Hörender nachvollziehen kann.
Wenn ich Gedichte hier posten würde, würde man mich bzw. meine Gedichte mit ziemlicher Sicherheit in der Luft zerfetzen. Deswegen lasse ich's lieber.

Bitte poste!
Ich bin tierisch neugierig auf deine Gedichte!
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Alt 25.01.2018, 23:46   #13
männlich Schmuddelkind
 
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Zitat:
Aufgrund meiner Behinderung (ich bin gehörlos) habe ich wie jeder Gehörlose auch Probleme mit Rechtschreibung und Grammatik. Ich habe die Erfahrung gemacht, dass dies nicht jeder Hörender nachvollziehen kann.
Wenn ich Gedichte hier posten würde, würde man mich bzw. meine Gedichte mit ziemlicher Sicherheit in der Luft zerfetzen. Deswegen lasse ich's lieber.
OK, das kann ich sehr gut nachvollziehen, dass du davor Angst hast. Aber vielleicht denkst du über Heinzens Angebot nach - auch mir kannst du übrigens gerne Texte per PN zukommen lassen. Würde mich sehr freuen. Muss aber vorwegschicken, dass ich nicht immer so viel Zeit habe. Im Moment warten auch noch mindestens zwei Leute auf eine PN von mir und ich bin selbst gar nicht mehr so oft on wie früher. Aber weh würde es jedenfalls keinem tun, wenn du mir was schicken möchtest.

LG
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Alt 30.01.2018, 03:37   #14
männlich Schmuddelkind
 
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Standard Woche 2 (Teil 1)

"Ich habe mir Gedanken über Ihre Frage gemacht." Der Alte macht ein merkwürdig angestrengtes Gesicht mit Blick nach oben, ein zusammengekniffenes, ein weit aufgerissenes Auge, den Mund schräg verzogen, als er sich zu erinnern versucht: "Welche Frage denn? Ach ja, du kannst mich übrigens duzen." Béla ist ein wenig überrascht, lässt sich jedoch nichts anmerken: "Also, warum man nicht durch null teilen darf."

Diese Frage hat ihn in der vergangenen Woche sehr beschäftigt, denn es war ihm fast unangenehm, dass er von dieser Regel wusste, ohne jemals wirklich die Frage zu stellen, ob dieses Verbot denn berechtigt sei. Es erschien ihm, wenn er übertrieben philosophisch darüber sinnierte, als ein Schritt in die Freiheit, dass der alte Mann ihm nahelegte, die Frage nach dem Sinn eines Verbotes sei berechtigt. Bisher hat er in den Regeln der Mathematik eine Sache gesehen, die größer war als der Mensch, als seien sie von Göttern gemacht und sie anzufechten sei Blasphemie. Genau aus diesem Grund wurde der alte Mann von Bélas Initiative plötzlich ganz ergriffen, da er dahinter viel mehr sah, als eine einfache mathematische Frage:

"Oh ja, das hätte ich fast vergessen. Das ist natürlich eine interessante Frage. Was sind denn deine Gedanken dazu?" "Ich habe mich erst einmal gefragt, was es bedeutet, wenn man durch eine Zahl teilt." "Sehr klug! Das ist genau die Frage eines Mathematikers. Mathematiker stellen einfache Fragen, um zu tiefen Erkenntnissen zu gelangen. Was bedeutet es also deiner Meinung nach, durch eine Zahl zu teilen?" "Also, wenn ich zum Beispiel sechs durch zwei rechne, frage ich mich eigentlich, wie oft die Zwei in die Sechs reinpasst, also wie oft ich zwei plus zwei rechnen muss, bis ich bei sechs bin. In dem Fall brauche ich dafür drei Zweien, weil zwei plus zwei plus zwei sechs ergibt. Deshalb ist sechs durch zwei gleich drei." "Genau das ist die Bedeutung der Division, ja."

"Ja, und wenn ich jetzt durch null teile, zum Beispiel eins durch null, dann frage ich mich ja dasselbe. Ich frage mich, wie oft ich null plus null rechnen muss, bis ich bei der Eins ankomme. Und wenn man so darüber nachdenkt, merkt man ja, dass man nie bei der Eins ankommt, wenn man immer nur eine weitere Null und noch eine Null und so weiter dazurechnet." Der alte Mann zeigt sich zufrieden, fast schon stolz auf die Gedanken seines Schülers, als hätte er selbst gerade erst herausgefunden, warum man nicht durch null teilen darf: "Besser hätte ich es gar nicht auf den Punkt bringen können. Und das gilt natürlich auch für zwei durch null, drei durch null und so weiter. Was ist aber, wenn ich null durch null teile?"

"Das geht auch nicht", entgegnet Béla ohne zu zögern. "Warum nicht?" "Weil man nicht durch null teilen k... Oh, Moment." Der Junge merkt, dass an der Frage doch mehr hängt, als er intuitiv glaubte. Die Null scheint schon eine verrückte Zahl zu sein - ein Außenseiter, ganz anders als die anderen Zahlen, aber mit dem Vermögen, Einiges in der sonst so klaren Ordnung der Zahlen durcheinander zu wirbeln. Also ergänzt er: "Null geteilt durch null ist eins, oder?" "Oder - trifft es ganz gut. Du hast natürlich recht: null durch null ist eins, weil ein mal null null ergibt. Was ist nun aber zwei mal null?" "Oh, zwei mal null ist natürlich auch null. Also könnte null durch null auch zwei sein?" "Ja, oder drei oder vier oder 27 oder ein halb oder minus eine Milliarde. Denn all diese Zahlen ergeben, mit null multipliziert, null."

Obwohl Béla dem Gedankengang folgen kann, ist er verwirrt: "Kann man dann sagen, dass null durch null einfach jede beliebige Zahl ist, dass da einfach alles herauskommt?" "In gewisser Weise kann man das sagen, ja. Aber da uns diese Beliebigkeit keinen Erkenntnisgewinn bringt, sagen wir einfach, dass null durch null nicht definiert ist und schließen es aus der Mathematik aus - zumindest für gewöhnlich. Null durch null ist also ebenfalls verboten, wenn man so will, aber aus einem anderen Grund, als das bei eins durch null der Fall ist."

Béla ist erschüttert. Das klingt ihm alles sehr beliebig, fast schon künstlerisch. Kann das denn Mathematik sein? Können Menschen einfach so über Zahlen entscheiden? Sind Zahlen nicht unabhängig von den Menschen da? Gehorchen sie nicht Regeln, über die Menschen nicht einfach so nach Gutdünken entscheiden können? Was sind Zahlen überhaupt? Sind Zahlen wirklich einfach so da? Was ist mit minus eins? Béla weiß, dass vor ihm ein Mann sitzt, aber kann es auch minus einen Mann geben? Das klingt tatsächlich auch ziemlich frei erfunden. Ist die Mathematik am Ende doch erfunden? Wenn ja, warum gibt es darin so viele strenge Regeln? Und warum weicht der Alte diese dann einfach so auf? Fragen erfüllen sein Bewusstsein, nebeln ihn ein und regen ihn an. Unmöglich kann er all diese Fragen auf einmal stellen. Er versucht, möglichst viel seines Wissensdurstes in eine Frage zu packen:

"Aber kann man denn einfach so eine Rechenaufgabe ausschließen?" "Das ist eine gute Frage", entgegnet der Lehrer "und sie rührt nah an die Frage, was denn Mathematik überhaupt ist. Diese Frage kann ich dir heute nicht abschließend beantworten - und tatsächlich sind sich die Mathematiker selbst da auch nicht so ganz sicher. Wir werden gewiss immer wieder auf diese Frage zurückkommen müssen und jedes mal wird die Antwort eine etwas andere sein. Lass mich dir für heute die Mathematik aber als ein Spiel beschreiben." "Ein Spiel?!" - das ist ziemlich genau das Gegenteil von dem, was Béla unter Mathematik versteht.

Doch der Alte zeigt sich unbeirrt: "Ja. Wir einigen uns auf ein Spielbrett (zum Beispiel das Brett der natürlichen Zahlen, auf dem wir ganz am Anfang zu spielen gelernt haben) und auf bestimmte Regeln wie zum Beispiel: "zwei plus drei ist dasselbe wie drei plus zwei"." Der Alte zeichnet Kästchen mit Zahlen darin auf ein Blatt Papier - in das erste Kästchen die Null, in das zweite die Eins und so weiter. "Das Spielbrett nennen wir übrigens Zahlenraum und die Regeln nennen wir Axiome. Und dann spielen wir einfach. Wir probieren dies und jenes aus, entdecken die Addition, die Multiplikation, Muster in den Zahlen, Primzahlen - all diese interessanten Dinge.

Wichtig ist aber, dass wir uns immer an die Regeln halten. In der Mathematik, auf die wir uns geeinigt haben, dürfen wir keine Rechenoperationen durchführen, die den Spielregeln widersprechen. Eine Regel lautet zum Beispiel: "Man kann keine große Zahl von einer kleinen Zahl subtrahieren, also abziehen." Wenn wir das versuchen, müssten wir ja auf einem Feld links von der Null landen und das gibt es nicht. Nachdem man dieses Spiel aber eine Weile spielt, wird es irgendwann langweilig und man möchte vielleicht ein anderes Spiel spielen, denn das Meiste in dem Spiel der natürlichen Zahlen ist uns schon bekannt.

Dann erinnert man sich vielleicht an diese Regel: "Keine große Zahl von einer kleinen subtrahieren!" und kommt auf die Idee, diese Regel einfach abzuschaffen. Nun merkt man aber, dass wir hierfür auf unserem Spielbrett nicht genügend Felder haben. Also brauchen wir ein neues Spielbrett und nennen es "ganze Zahlen", was einfach die natürlichen Zahlen, erweitert um die negativen Zahlen, darstellt." Während der Alte mit sanfter, ruhiger Stimme seine Erklärungen fortsetzt, zeichnet er ein paar Kästchen links von der Null, beginnend mit minus eins, gefolgt von minus zwei und so weiter. "Wir müssen nur aufpassen, dass unsere neuen Regeln nicht einander widersprechen und wenn es etwas Interessantes in diesem neuen Spiel zu entdecken gibt, die neuen Regeln immer befolgend, können wir damit auch eine Weile viel Spaß haben, bis wir auch hier wieder an Grenzen stoßen und wir das Bedürfnis haben, eine Regel zu brechen, um ein neues Spiel zu erfinden, zum Beispiel die Brüche.

Jedesmal wenn wir dies tun, gewinnen wir eine ganze Menge interessanten Spielmaterials, verlieren aber auch eine Kleinigkeit des vorigen Spiels - das soll im Detail heute aber nicht weiter unser Problem sein, denn wir haben ja noch die quadratischen Gleichungen vor uns. Was ich dir nur damit sagen wollte: Die Regeln der Mathematik sind nicht völlig beliebig, denn sie dürfen einander nicht widersprechen und sind somit der Logik Untertan. Aber sie sind dennoch etwas, worauf sich Menschen geeinigt haben, um Freude am gemeinsamen Grübeln zu empfinden. Eine Aufgabe wie null geteilt durch null ist im Ergebnis so beliebig, dass es sofort langweilig wird und wir beschließen, dass wir das gar nicht im Spiel haben möchten - ähnlich wie man ja auch beim Schach bestimmte langweilige Situationen durch die Regeln verhindert; man darf dort ja zum Beispiel nicht beliebig oft denselben Zug immer wieder ausführen und wieder rückgängig machen. Das würde ja zu nichts führen. Es gibt manchmal auch Situationen, in denen eine Aufgabe wie null durch null interessant wird und dann können wir es irgendwie definieren - und da dabei ja alles Mögliche herauskommen könnte, sind wir in unserer Wahl sehr frei. Ich könnte dann auch beschließen: "Null geteilt durch null ist - in diesem Zusammenhang, in dieser einen Situation - 8.946.176. Aber im Allgemeinen gestehen wir der Aufgabe kein Ergebnis zu, da jedes Ergebnis willkürlich wäre."

Es ist schwer, dem Alten nicht zuzuhören. Auch wenn Béla einigermaßen erschlagen ist von so vielen neuen Gedankengängen - alles, was sein Lehrer ihm mitteilt, scheint, obwohl dieser Bélas Vorstellungen sehr weit dehnt, klar und zusammenhängend und entführt ihn in eine faszinierende Welt, wovon er nie für möglich gehalten hat, sie in solch grauen Notwendigkeiten wie den Zahlen verborgen zu finden. "Ich schätze, das habe ich jetzt verstanden. Aber es fällt mir schwer zu glauben, dass die Mathematik einfach so erfunden sein soll wie irgendwelche Spielregeln. Es geht doch nicht nur um Erdachtes, sondern auch um Dinge, oder? Wenn ich zwei Äpfel habe und drei dazu nehme, erhalte ich fünf Äpfel. Das ist doch auch Mathematik, aber das kann ich nicht ändern." "Da wirfst du einen wichtigen Punkt auf, den Philosophen, die weitaus klüger sind als ich, schon seit Jahrtausenden diskutieren und daran können wir irgendwann auch mal anknüpfen. Aber da die Gefahr besteht, dass wir diese Probleme heute auch nicht mehr lösen, sollten wir uns nun wohl lieber den quadratischen Gleichungen widmen, so sehr ich mich freuen würde, dieses Thema mit dir zu vertiefen. Aber manchmal kann auch ein Mathematiker Sachzwänge nicht wegdefinieren."
Schmuddelkind ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 19.03.2018, 17:11   #15
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Das ist richtig gut!
fkms ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 20.03.2018, 22:40   #16
männlich Schmuddelkind
 
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Tatsächlich? War mir unsicher. So etwas kann ja als literarisches Werk zu mathematisch daher kommen und als Sachbuch für Mathematik ist es vielleicht zu literarisch. Aber ich schreibe einfach weiter der Nase nach und sehe, was am Ende dabei herauskommt. Nehme mir auch vor, sobald wie möglich die Geschichte fortzusetzen. Aber zuerst will ich noch mein anderes Projekt beenden.

Jedenfalls danke für dein Feedback!

LG
Schmuddelkind ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 29.05.2018, 12:14   #17
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Standard Woche 2 (Teil 2)

"Wir haben uns letzte Woche mit der Gleichung 3x² - 9x = 0 beschäftigt." Noch während Béla sich darüber wundert, dass der Alte sich so leicht an diese Gleichung erinnert, als wäre sie etwas Persönliches, fährt dieser fort: "Und wir haben festgestellt, dass wir mit unserer altbekannten Masche, einfach das Gegenteil von dem zu machen, was dort steht, nicht weiter kommen. Jetzt nimm mal an, die Gleichung würde lauten 3x² - 9 = 0. Würde es dann so funktionieren? Übrigens: Solche Was-wäre-wenn-Fragen sind ganz wichtig in der Mathematik, denn was nicht ist, lässt uns oft besser verstehen, was tatsächlich ist."

Béla schiebt in seinem Kopf die neun auf die andere Seite. Er erkennt, dass die Zahl vor dem x² verschwinden muss und teilt durch drei. Er sieht die Gleichung x² = 3 und weiß, dass er nun die Wurzel ziehen kann. Er weiß nicht, welche Zahl dabei entsteht, aber er weiß, dass es eine Zahl ist und antwortet erleichtert: "Ja, das würde funktionieren. Zumindest hat es gerade in meinem Kopf geklappt." "Gut. Woran liegt es also vermutlich, dass die eine Gleichung sich so lösen lässt, wie wir es gewohnt sind und die andere nicht?" Béla ist noch etwas unsicher. Dennoch fühlt er sich vor dem Alten inzwischen selbstbewusst genug, seine Vermutung zu äußern: "Also in der einen Gleichung kommt neben dem x² auch x vor, in der anderen nicht. Also hat es vielleicht damit zu tun?"

"Genau so ist es", entfährt es dem alten Mann mit großen Augen. "Unterschiedliche Typen von quadratischen Gleichungen verlangen unterschiedliche Lösungswege. Wenn wir also eine Gleichung lösen wollen, ist es wichtig, sie vorher genau zu betrachten, sie gewissermaßen kennenzulernen. Denn Gleichungen sind wie Frauen. Sie sind nicht alle gleich. Sicher, wir hatten mit unserer bisherigen Masche bei allen Gleichungen Erfolg. Und auch unter Frauen gibt es gewiss einige, bei denen man mit dem ewig selben Spruch Erfolg haben kann. Aber die wirklich interessanten Frauen - die interessanteren, komplexeren Gleichungen - reagieren empört, wenn wir uns ihnen mit einer simplen, altbekannten Eroberungstaktik nähern. Dann machen sie dicht und denken nicht daran, uns ihre Geheimnisse zu offenbaren. Man muss zunächst die richtigen Fragen stellen und gut zuhören, um sie kennenzulernen, um sie zu verstehen, ehe man einen Weg zu ihrem Innersten finden kann." "Redest du jetzt über Frauen oder über Gleichungen?", fragt der Junge amüsiert. "Über beides."

"OK, ich verstehe: Gleichungen sind unterschiedlich und man muss sie genau betrachten, bevor man versucht sie zu lösen. Aber worauf genau muss ich denn dabei achten.?" Der Alte greift zum Stift und erklärt: "Wir müssen darauf achten, welche Glieder die Gleichung besitzt. Eine quadratische Gleichung kann aus maximal drei Gliedern bestehen: einem quadratischen Glied - das ist irgendeine Zahl mal x²" Er notiert dabei 2x² = "Dieses Glied muss natürlich vorkommen, denn ohne x² ist es ja keine quadratische Gleichung. Darüberhinaus kann, muss aber nicht vorkommen: irgendeine Zahl mal x - dies nennt man das lineare Glied, da wir es aus den linearen Gleichungen kennen, mit denen wir uns letztes Jahr beschäftigt haben." Er ergänzt die Gleichung: 2x² = 4x "Und dann kann es noch eine nackte Zahl geben - muss aber nicht unbedingt sein. Diese nennen wir absolutes Glied." Währenddessen vervollständigt er die Gleichung: 2x² = 4x - 6 "Je nachdem, welche dieser Glieder unsere Gleichung besitzt, ist eine bestimmte Lösungsstrategie sinnvoll. Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall - Level 1: Wir haben nur ein quadratisches und ein absolutes Glied, z.B. so: 2x² + 2 = 20"

Da wendet Béla ein: "Aber wir haben doch zwei Zahlen, also zwei absolute Glieder." "Das ist richtig. Wir haben zwei Zahlen. Aber diese können wir jederzeit durch Addition oder Subtraktion miteinander verschmelzen lassen. Hier könnte ich z.B. minus zwei rechnen. Dann haben wir links keine nackte Zahl mehr und auf der rechten Seite steht dann 18. Deshalb sagen wir, sobald wir - egal wie viele - Zahlen haben, ist es ein absolutes Glied. Übrigens: Die Null zählt als gar kein Glied, weder absolut, noch linear, noch quadratisch. " "Die Null will immer eine Sonderbehandlung, oder?" "Ja, dagegen lässt sich leider zum Glück nichts tun. Jedenfalls lässt sich eine solche Gleichung, wie du mir vorhin selbst erklärt hast, mit der altbekannten Masche lösen: Die Zahlen Schritt für Schritt von dem x² trennen und am Ende die Wurzel ziehen. Du kannst es ja hier mal gerne versuchen."

Ohne zu zögern, nimmt Béla den Stift in die Hand und erklärt seine Lösung: "Die +2 nach dem x² stört mich. Also rechne ich minus zwei." Das kurze Zögern des Stifts wird vom sanften Nicken des Alten durchbrochen und die Gleichung 2x² = 18 kommt zum Vorschein. "Dann teile ich durch zwei. Auf beiden Seiten. Heißt: x² = 9. Und jetzt kann ich tatsächlich die Wurzel ziehen." Instinktiv greift Béla zum Taschenrechner, welcher allerdings in einer schnellen Bewegung von seinem Lehrer weggezogen wird. Mit vorgeblicher Strenge schaut dieser seinen Schützling an: "Die Bedeutung der Aufgabe zu verstehen, ist wichtiger als das Ergebnis hinzuschreiben. Wenn du sofort alles in den Taschenrechner eintippst, beraubst du dich der Möglichkeit zu verstehen, was hier passiert. Versteh mich nicht falsch: Wenn du 299,88 : 7,14 rechnen sollst, verlange ich nicht von dir, dass du das im Kopf machst. Darauf hätte ich auch keine Lust. Aber die Wurzel aus neun ist nicht so schwer, wenn man darüber nachdenkt, was die Aufgabe bedeutet. Das kannst du sogar schneller mit dem Verstand herausfinden, als du es eintippen kannst." "Ach ja, drei!", schließt Béla unmittelbar. Also notiert er x = 3.
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Alt 30.05.2018, 11:19   #18
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Standard Woche 2 (Teil 3)

"Sehr gut", kommentiert der Mann mit stolzerfüllter Stimme. "Du hast den Lösungsweg gesehen und ihn von Anfang bis Ende beschritten und deine Lösung stimmt auch. Allerdings ist das nur die halbe Wahrheit. Es gibt nämlich noch eine weitere Lösung." "Huch, wie das?" "Unsere Frage war ja, welche Zahl, mit sich selbst mal genommen, neun ergibt. Und bei der Drei ist das der Fall: drei mal drei ist neun. Aber es gibt noch eine weitere Zahl, die mit sich selbst multipliziert, neun ergibt. Kannst du sehen, welche das ist?" Der Junge überlegt eine Weile, versucht es mit der Zwei, mit der Vier, und merkt schnell, dass dies alles nicht zur Neun führt, erst recht nicht, wenn er kleinere oder größere Zahlen benutzt. Da der Alte aber darauf besteht, dass es noch eine weitere Lösung geben muss, kommt ihm in den Sinn, dass es sich um eine ganz andere Zahl handeln muss. Vielleicht muss er das Spielbrett erweitern. Vielleicht negative Zahlen? Minus mal minus ergibt plus. Voller Überraschung über die Einfachheit dieser Lösung ruft er aus: "Minus drei! Minus drei mal minus drei ist plus neun."

Im Lächeln des Alten drückt sich aus, wie einfach mathematische Zusammenhänge sein können, wenn man die richtige Perspektive einnimmt und sein Nicken offenbart die Anerkennung darüber, dass Bélas Stochern im Nebel der falschen Fragen, ihn nicht entmutigt hat, die richtige Frage zu finden: "So ist es. Und das ist etwas, das der Taschenrechner dir vorenthalten hätte, weil er nicht nachdenken kann. Aber du kannst nachdenken. Verlass dich mehr auf deine Gedanken als auf unsichtbare Vorgänge im Inneren eines grauen Kastens!" "Ich habe immer Angst, Fehler zu machen und verlasse mich deshalb lieber auf den Taschenrechner", erklärt sich Béla. Sein Lehrer nickt verständnisvoll und antwortet: "Ja, wenn du für dich selbst denkst, kannst du Fehler machen. Aber ich möchte gerne deine Fehler sehen, weil ich deine Gedanken sehen möchte. In der Mathematik geht es nicht so sehr um richtig oder falsch, als vielmehr darum, seine Gedanken nachvollziehbar zu machen, andere mitzunehmen auf seine Gedankenreise. Und was den allwissenden Taschenrechner anbelangt, folgendes Experiment: Frage bitte den Taschenrechner, was 2^53 + 1 - 2^53 ist!" "Null" "...sagt der Taschenrechner. Nun überlege selbst, wie das Ergebnis lauten sollte!" "Also, ich sehe die Zahl 2^53 und ich sehe, wie sie hinten wieder abgezogen wird - also null. Und dann steht da noch plus eins. Also ist das Ergebnis eins? Wow! Wie kommt es, dass ich besser rechnen kann als die Maschine, die dafür gebaut wurde?" "Vereinfacht gesagt, ist es so, dass der Taschenrechner bei so großen Zahlen wie 2^53 keinen Unterschied mehr macht, ob man plus oder minus eins rechnet. Für ihn ist beides gleich groß und er rechnet 2^53 - 2^53. Und da er zwar generell eins addieren kann, aber nicht weiß, was dies bedeutet, fällt ihm dieser Fehler gar nicht auf. Du aber kennst die Bedeutung von "plus eins" und du verstehst, was hier passiert."

Diese Erkenntnis ist Béla fast unangenehm. Er beschließt, lieber das Thema zu wechseln: "Level accomplished! Level 1 war einfach. Ich glaube, ich bin bereit für ein Level-Upgrade. Daraufhin lacht der Alte: "Also gut - Level 2. Jetzt kommen wir dort an, wo wir letzte Stunde aufgehört haben: 3x² - 9x = 0. Wir haben also ein quadratisches und ein lineares Glied und das ist schon etwas schwieriger, wie wir festgestellt haben. Hier ist es ganz angenehm, dass beide Glieder auf derselben Seite stehen und auf der anderen Seite steht null. Falls dem mal nicht so sein sollte, müssen wir erst diesen Zustand herstellen, indem wir Glieder auf die andere Seite schieben. Ist das so weit verständlich?" Béla, der den Zweck dieser Maßnahme noch nicht sehen kann, aber die Anweisungen seines Lehrers verstanden hat, nickt und sein Gegenüber fährt fort: "Gut. Was haben denn nun 3x² und 9x gemeinsam?" "Beide haben ein x." "Richtig! Denn x² ist ja nichts anderes als x mal x. In beiden Gliedern kommt also x als Faktor vor. In sokchen Fällen, wo in allen Summanden der gleiche Faktor vorkommt, kann man diesen Faktor ausklammern. Weißt du noch, wie das geht?" Das Ausklammern hat Bélas Schullehrer letztes Jahr so lange üben lassen, dass er sich tatsächlich noch immer daran erinnern kann, auch wenn ihm nie klar geworden ist, wofür das gut sein soll: "Also ich schreibe das x vor die Klammer und in die Klammer kommt der ganze Rest, der noch übrig ist. In dem Fall: x*(3x - 9) = 0."

"Sehr schön! Und jetzt nehmen wir die Vogelperspektive ein und betrachten nur ganz grob, was hier steht: 3x - 9 steht ja letztendlich für eine Zahl. Also haben wir eine Zahl" - er zeigt auf das x - "mal eine andere Zahl" - er umkreist mit dem Finger (3x - 9) - "und das Ergebnis dieser Rechnung soll null sein. Wie ist das nur möglich? Wie kann das Ergebnis einer Malaufgabe null sein?" Béla probiert in seinem Kopf verschiedene Malaufgaben aus, die null zu ergeben versprechen: 1*0; 10*0; 0*3; auch 0*0 - all diese Aufgaben, so bemerkt er rasch, bedeuten eine Zahl mit null zu multiplizieren. Also schlussfolgert er: "Mindestens eine der beiden Zahlen muss null sein." "So muss es wohl sein, ja", ruft der Alte begeistert aus, während seine Gestik sich in einer Jugendlichkeit verliert, die sonst zuweilen kurz zwischen den Sätzen eines erfahrenen Mathematiklehrers aus seinen Augen hervorblitzt. "Mindestens einer der Faktoren muss null sein, wenn das Produkt null sein soll. Das bedeutet x muss null sein oder 3x - 9 muss null sein - oder beides. Also können wir schreiben: x = 0 oder 3x - 9 = 0. Und damit bist du hinter die Zeichen gekommen."

"Oh, das ist ja cool! Ich hab jetzt also nur diese beiden Gleichungen zu lösen? Die sind ja ganz einfach", kommentiert Béla. Eilig beginnt er diese Gleichungen zu notieren und gerät sogleich ins Stocken: "Soll ich jetzt das Wort "oder" hinschreiben?" "Das könntest du tun. Aber Mathematiker sind von Natur aus faul und solche Wörter, die wir oft benutzen wie "oder", "und", "es gibt" und so weiter kürzen wir gerne mit einem Zeichen ab. Das Zeichen für "oder" ist ein kleines v." "Und wie ist das Zeichen für "und"?" "Ein kleines v, das auf dem Kopf steht. Du siehst, so blöd sind die mathematischen Zeichen gar nicht." x = 0 v 3x - 9 = 0 liegt auf dem Papier, so klar und einfach wie Regentropfen auf einem Blatt nach den Wirren eines Sturms. Der Junge erkennt, dass x = 0 bereits eine Lösung der Gleichung darstellt und dass die andere Lösung in der Gleichung 3x - 9 = 0 verborgen liegt. Er rechnet plus neun und erhält die Gleichung 3x = 9. Schließlich teilt er durch drei und erkennt die zweite Lösung: x = 3. Dass sich hinter einer solch schweren Aufgabe eine derart einfache Frage verbirgt, kommt Béla fast vor wie Magie - eine Magie, die er langsam zu beherrschen beginnt.

Der Alte lässt dieses Gefühl noch eine Weile in dem Jungen wirken, ehe er das Wort ergreift: "Fassen wir also noch einmal zusammen: Bei quadratischen Gleichungen auf Level 2 - wir haben ein quadratisches und ein lineares Glied - bringen wir zunächst alles auf die eine Seite des Gleichheitszeichens, so dass auf der anderen Seite null steht. Dann klammern wir das x aus und können stets erkennen, dass x gleich null oder dass das, was in der Klammer steht, gleich null ist. Und auf diese Weise erhalten wir aus einer komplizierten Gleichung zwei einfache Gleichungen, die sich fast von alleine lösen. Und damit müssen wir uns für heute begnügen. Wir sehen uns nächste Woche wieder." "Oh!", entgegnet Béla enttäuscht. "Und was ist mit Level 3?" "Level 3 wird sich bis nächste Woche leider noch gedulden müssen. Allerdings würde sich Level 3 sehr freuen, wenn du dir bis dahin die binomischen Formeln noch einmal anschaust."
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Alt 31.05.2018, 17:18   #19
Stachel
 
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Liebes Schmuddelkind,

ich finde die Texte super! Sie sind spannend und lehrreich zugleich, erinnern mich an das Buch Sophies Welt von Jostein Gaarder. Das Konzept ist also bereits durch einen Bestseller bestätigt. Nur weiter so. Ich weiß auch schon, wem ich den Text schmackhaft machen möchte. Es werden mehrere Personen sein.

Freundliche Grüße von
Stachel
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Alt 11.06.2018, 11:37   #20
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Lieber Stachel,

danke für die Worte der Anerkennung! Mit Erstaunen stelle ich fest, dass es offenbar mehr Leser gibt, die sich für eine solch spezielle Geschichte begeistern können, als ich dachte. Ich ging davon aus, dass in dem sehr speziellen Pool von literarisch Bekloppten, wie ich einer bin, kaum Leute zu finden sind, die in die ebenso spezielle Kategorie von Mathe-Begeisterten fallen.


Dein Vergleich zu Sophies Welt ist schmeichelhaft. Aber in der Tat hat es natürlich eine ähnliche Prämisse, nur eben mit Mathe statt Philosophie.

Zitat:
Ich weiß auch schon, wem ich den Text schmackhaft machen möchte. Es werden mehrere Personen sein.
Oh, da darf ich mich ja geehrt fühlen, wenn ich es richtig deute.

LG
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Alt 24.10.2018, 20:50   #21
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Standard Woche 3 (Teil 1)

"Ich kann die binomischen Formeln auswendig. Ist mir relativ leicht gefallen, weil ich mich noch ganz gut erinnern konnte." Béla erwartet mit selbstzufriedener Miene die Aufforderung des alten Mathematikers: "Dann lass mal hören!" "(a+b)² = a²+2ab+b² - das ist die erste binomische Formel. Die zweite lautet: (a-b)² = a²-2ab+b² und die dritte: (a+b)*(a-b) = a²-b²" Der Alte nickt mit gespitzten Lippen: "Und warum ist das so?" "Das stand so im Internet", entgegnet Béla mit verspielt frechem Unterton. "Da hat das Internet sogar nicht unrecht. Aber warum sind die Formeln richtig? Warum lautet beispielsweise die erste binomische Formel nicht anders? Warum ist da etwa dieses seltsame 2ab?"

Er notiert (a+b)² und fragt den Jungen: "Was bedeutet dies?" "Dass ich (a+b) quadrieren, also mit sich selbst mal nehmen muss. Deshalb: (a+b)*(a+b). Ach ja", erkennt Béla in überraschender Klarheit: "Dann muss ich nur die Klammern auflösen, indem ich jeweils einen Buchstaben aus der ersten Klammer mit einem Buchstaben aus der zweiten Klammer multipliziere. Das heißt, das a aus der ersten Klammer mal dem a aus der zweiten Klammer: a². Dann mal dem b aus der zweiten: ab. Nun das b aus der ersten mal dem a aus der zweiten: ba und schließlich die beiden b: b²" Als der Junge fertig ist, liest er den erarbeiteten Term am Stück vor: "a²+ab+ba+b². Ich habe also das ab (bzw. ba) zwei mal, also 2ab. Damit ergibt das insgesamt a²+2ab+b² - wow! Das ist tatsächlich die binomische Formel. Die Sache ist ja ganz simpel." Zuvor erschien ihm die binomische Formel wie eine willkürliche Anordnung von Zeichen, die auswendig zu lernen sei wie das Alphabet. "Du siehst", erwacht die Stimme des alten Mannes gemeinsam mit Bélas Erkenntnis: "Wenn man die Bedeutung eines Problems erkannt hat, löst es sich oft fast von selbst. Das größte Problem ist nämlich nicht, dass wir Probleme haben, sondern dass wir uns nicht mit ihnen beschäftigen wollen. Analog funktioniert dies natürlich auch für die zweite und dritte binomische Formel. Daher lassen wir diese nun beiseite und gehen zur Anwendung über."

Er schreibt (x+3)² auf den Zettel und schiebt ihn dem Jungen zu. Dieser erkennt, dass er die erste "Zahl", also x, quadrieren muss und schreibt daher x². Daraufhin rechnet er zwei mal x mal drei und notiert +6x. Schließlich quadriert er noch die Drei und erhält neun: x²+6x+9. "Sehr gut!", bescheinigt der Alte anerkennend. "Nun achte mal darauf, wie der Term jetzt aussieht!" "Da sehe ich ein quadratisches Glied, ein lineares Glied und ein absolutes Glied. Das dürfte dann Level 3 sein." Langsam beschleicht ihn eine Ahnung, die er noch nicht ausformulieren kann. Da ergreift der Alte wieder das Wort: "Aha! Wenn ich also eine Klammer zum Quadrat vor mir sehe, kann ich daraus einen solchen Level-3-Term machen. Da hege ich die leise Hoffnung, dass dies umgekehrt vielleicht auch klappt. Möglicherweise kann ich, wenn ich Level 3 habe, den Term als eine solche quadrierte Klammer vereinfachen. Lass uns das mal versuchen: x²+8x+16 - das will ich also schreiben als eine quadrierte Klammer, also: (___)². Versuchen wir doch zuerst einmal herauszufinden, welches Rechenzeichen in die Klammer kommt."

"Ein Pluszeichen, weil da nur Pluszeichen zu sehen sind; das ist dann die erste binomische Formel." "Also so: (_+_)², ja? Dann wollen wir mal sehen, was wir in der Klammer links einsetzen müssen." "Ich schätze x, weil ich ja bei der binomischen Formel das x quadrieren muss und dann steht da x², wie ich es ja auch bei dem Level 3 Term am Anfang sehen kann." "Ganz genau. Also (x+_)². Nun ignoriere kurz das absolute Glied, also die 16, und versuche aus dem linearen Glied (8x) zu erschließen, was die zweite Zahl in der quadrierten Klammer sein müsste!" Diese Aufgabe macht Béla sehr zu schaffen. Immer wieder kommt ihm eine Idee, doch wenn er das Gefühl hat, der Lösung ganz nah zu sein, zerplatzen seine Gedanken - vermutlich aus Vorfreude.

Da bietet der alte Mann seine Hilfe an: "8x entspricht in der binomischen Formel diesem 2ab, oder? In 8x steckt also zwei mal die eine Zahl aus der Klammer mal die zweite Zahl aus der Klammer. Was ist denn noch gleich die erste Zahl aus der Klammer?" "x - ach ja, und das x findet sich wieder hinter der Acht. Also ist acht zwei mal die andere Zahl in der Klammer. Dann muss in die Klammer vier. Vier mal zwei ist nämlich acht. Dann heißt es also: (x+4)²" "Das war nicht so einfach. Aber du hast es dir klug erschlossen. Ich will es dir noch ein bisschen einfacher machen, denn was du implizit gesagt hast: man muss sich auf die Zahl vor dem x konzentrieren. Die Hälfte dieser Zahl kommt in die Klammer." "Ja, stimmt!" "Zumindest sagt uns das dieses lineare Glied. Die Frage ist dennoch, ob das absolute Glied dahinter - die 16 - auch nichts dagegen hat." "Das ist hier kein Problem. Denn hinten steht in der binomischen Formel ja immer das Quadrat der zweiten Zahl aus der Klammer. Und 16 ist das Quadrat von 4. Also passt alles ganz toll zusammen." "Gut erkannt. Was wäre nun, wenn da hinten nicht 16, sondern 15 stünde?" "Dann würde das mit der binomischen Formel nicht mehr funktionieren", folgert Béla ohne Zögern. Mit weitsichtigem Lächeln antwortet sein Lehrer: "Da hast du recht. Dann könnten wir nicht so ohne Weiteres die binomische Formel anwenden, um aus dem Term eine quadrierte Klammer zu machen. Doch vielleicht gibt es ja eine Möglichkeit, den Term auszutricksen."

Geändert von Schmuddelkind (24.10.2018 um 23:01 Uhr)
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Alt 24.10.2018, 21:56   #22
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Also, die binomische Formel kenne ich auch seit der Urzeit auswendig. Aber mich bewegt eine ganz andere Frage: Wird dieser Fortsetzungstext dein nächstes Ebook?
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Alt 24.10.2018, 22:56   #23
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Zitat:
Wird dieser Fortsetzungstext dein nächstes Ebook?
Das könnte euch tatsächlich drohen.
Wobei ich glaube, dass "Wüstenregen" eher fertig wird, denn dieses Buch hier wird sehr viel umfangreicher werden (liegt bei dem Namen ja auch nahe).

Zitat:
Also, die binomische Formel kenne ich auch seit der Urzeit auswendig.
Das wird einem so brutal in den Kopf gehämmert, dass die meisten die binomischen Formeln nie wieder vergessen. Einerseits wohl nicht ganz unumgänglich, andererseits sehr schade, dass diese grauen, für sich genommen recht bedeutungsarmen Techniken einen derartigen Raum im Mathematik-Empfinden der Schüler einnehmen, dass die Schönheit der Mathematik dahinter verschwindet.

Die Schule sollte mehr Wert auf das Intuitive und Kreative in der Mathematik legen. Dann gäbe es wohl auch mehr Menschen, die damit etwas anfangen können und weniger Panik. Mit dem Buch will ich jedenfalls auch auf die faszinierenden Welten verweisen, die sich in der Beschäftigung mit der Mathematik in einem auftun. Bisher war es ja noch eher an der Schulmathematik orientiert, um den Leser bei Bekanntem abzuholen, aber der wirklich interessante Teil wird bald kommen...

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Alt 24.10.2018, 23:07   #24
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Zitat:
Zitat von Schmuddelkind Beitrag anzeigen

Die Schule sollte mehr Wert auf das Intuitive und Kreative in der Mathematik legen. Dann gäbe es wohl auch mehr Menschen, die damit etwas anfangen können und weniger Panik. Mit dem Buch will ich jedenfalls auch auf die faszinierenden Welten verweisen, die sich in der Beschäftigung mit der Mathematik in einem auftun. Bisher war es ja noch eher an der Schulmathematik orientiert, um den Leser bei Bekanntem abzuholen, aber der wirklich interessante Teil wird bald kommen...

LG
Ob du es glaubst oder nicht Schmuddel: In Mahte war ich der totale Versager. Ich rettete mich in einen sauberen Schulabschluss über die Sprachen, Deutsch, Englisch, Französisch.

Später kaufte ich mir Bücher und lernte aus ihnen Mathematik - ohne Lehrer. Und gab dann sogar Unterricht in Algebra. Da kann man nur spekulieren, wer in der Schule versagt hatte - die Lehrerin oder ich.

Ich habe im Laufe meines Lebens jedenfalls zwei Dinge gelernt: Verlass dich nur auf dich selbst. Und du kannst alles lernen, wenn du es willst.
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Alt 24.10.2018, 23:19   #25
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Das kann ich voll und ganz unterschreiben, dass man alles lernen kann. Das Problem ist, dass einem in der Schule der Antrieb und das Selbstvertrauen hierzu abtrainiert werden. Wer Mathe in der Schule schwierig fand, dem kann ich nur empfehlen, es sich aus guten Büchern selbst beizubringen oder in die zahlreichen Internettutorials zu blicken oder einen guten Privatlehrer zu besuchen. Das meiste, das einem in der Schule Kopfzerbrechen bereitet hat, ist verblüffend einfach, wenn man die richtige Perspektive dazu einnimmt. Genau diese Perspektive wird einem aber durch das bürokratisch genormte Abarbeiten vorgegebener Themen genommen, die keine wirkliche Richtung oder ein Lernziel erkennen lassen. Dann bleibt einem nur das Auswendiglernen irgendwelcher Formeln und das ungute Erleben, das Mathematik mit Rechnen zu tun hat, obwohl die Mathematik, wenn richtig verstanden, wohl der erfolgreichste Antagonist des Rechnens ist.
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